流形上的 PDE 一般是研究生才會系統接觸的東西。
不過嘛，林決最近也在看相關的內容了。
“說說.....”
林決點點頭，
“流形上的區域性座標卡。切叢和餘切叢的構造，以及拉普拉斯運算元在彎曲空間中的區域性表示式。”
“哦？”
江維漢微微挑了挑眉，
“那你知道，球面和雙曲平面上，拉普拉斯運算元的譜分佈有什麼本質區別？”
林決想了想，
“球面緊緻，曲率為正，拉普拉斯運算元的譜是離散的，可以用球諧函式展開。”
“雙曲平面非緊，曲率為負，譜是連續的，要用傅立葉赫爾曼變換處理。”
江維漢：“那柯西問題在非光滑流形上的適定性條件？”
林決下意識說道，
“這就要要看奇點的型別了，如果是錐形奇點，可以在遠離頂點處構造弱解，但在奇點位置需要用權空間對解做限制。”
“如果是邊值條件耦合了曲率項的話，就需要把邊值問題和內部的曲率張量放在同一組方程裡聯立處理，不能再單獨拆開。”
“不錯。”
江維漢的筆在紙上輕輕點了一下。
緊接著，他問了一個跳脫的問題，
“你對等譜問題的瞭解？”
“同譜不意味著同構。”林決說，“如果兩個區域的拉普拉斯運算元的譜完全相同，不一定能推出它們等距。”
“在三維呢？”
“三維不能用鼓面了，要換例子。”
“目前已知的是 Sunada 構......用兩個不同構但特徵多項式相同的有限群，透過覆蓋空間生成等譜但不等距的流形。
不過 Sunada 流形的曲率是零，正曲率的情況還沒有完全解決。”
江維漢再一次點了點頭，臉上滿是笑意看著他，
“你管這叫略懂！？”
林決撓了撓頭，露出乖巧的笑，
“在您面前，學生可不就略懂嗎？”
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