肖宿和陶哲軒一起走向報告廳外的咖啡角。
路上，他們遇到了舒爾茨。
“Terence，肖，”舒爾茨打招呼，“在討論什麼？”
“正要聊壓縮感知和數論的交叉，”陶哲軒說，“一起來？”
舒爾茨眼睛一亮：“當然！”
三人找了張靠窗的圓桌坐下。
窗外是普林斯頓的草坪和紅磚建築。
陶哲軒點了杯美式咖啡，舒爾茨要了拿鐵，肖宿喝不慣，只要了一杯水。
“所以，”陶哲軒先開口，看向肖宿，“你覺得壓縮感知的思想可以用到數論中？具體怎麼想？”
肖宿組織了一下語言：
“素數分佈是稀疏的，孿生素數對更是稀疏中的稀疏。傳統篩法工具像是在大海撈針，逐個檢查每個位置。但壓縮感知告訴我們：如果你知道訊號有特殊結構，就不需要檢查所有位置，只需要一些精心設計的‘測量’就能重建全域性。”
舒爾茨若有所思。
“這個類比很有意思。但數學上的‘測量’指什麼？在壓縮感知裡，測量是線性投影。在數論裡……”
“可以是某種篩法權函式的構造。”
肖宿說，“我之前嘗試構造權函式來捕捉素數對之間的相關性。但現在，我覺得也許可以設計兩種不同的‘測量’。”
“一種捕捉全域性稀疏性，類似於傳統篩法給出的素數密度估計。”
“另一種捕捉區域性相關性，專門設計來檢測‘間隔為2’這種特殊結構。”
陶哲軒身體微微前傾。
“繼續說。”
“假設我們把所有整數n標記為一個長度為N的向量x，其中x【n】=1表示n是素數，否則為0。”
肖宿用手指在桌面上虛畫，“那麼孿生素數問題就是尋找那些滿足x【n】=1且x【n+2】=1的位置n。”
“這可以看作在尋找一個稀疏訊號。”
舒爾茨接話。
“但這個訊號太稀疏了，稀疏到傳統的L1最小化可能都不夠強。”
“所以需要額外結構，”陶哲軒說，“在壓縮感知的最新進展中，我們開始研究‘結構化稀疏’，訊號的非零分量不是完全隨機分佈，而是以某種模式聚集。比如在影像處理中，邊緣對應的非零小波係數往往形成連續的曲線。”
肖宿的眼睛亮了起來：“素數分佈可能也有某種隱藏的結構化稀疏模式！不是完全隨機，但也不是簡單的週期性。比如素數定理給出漸近密度1/ln N，這是全域性統計。但在區域性，我們觀察到畫素數叢、素數等差數列這樣的結構。”
“那麼問題就變成了：如何數學地刻畫這種結構？”
舒爾茨思考著，“群作用？對稱性？還是某種更復雜的組合約束？”
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