這種剛性從何而來？
肖宿想到了顧—辛框架的第二條公理，層次分明。
所有辛流形按照內在的“旋轉複雜度”被安置在一個清晰的階梯上。
在X中，素數點集P的“旋轉複雜度”應該由ρ的分佈決定。
如果只有有限個孿生素數對，那麼P的關聯結構就會在某個尺度上“斷裂”，就像一座橋缺少了關鍵的石塊。
而這種斷裂會導致P的旋轉不變數，也就是第一條公理中的守恆量發生變化。
守恆量必須守恆。
所以斷裂不可能發生。
因此，孿生素數對必須有無窮多。
肖宿感覺腦海中那條隱藏的路徑終於清晰起來。
他開始系統地寫下證明框架：
第一步就是構造顧—辛特徵空間X及其上的辛結構。
這需要用到p進數域的受限乘積、顧—辛度量的適當定義、以及辛形式的構造。
這一步是技術性的，但框架已經足夠成熟了。
第二步則是定義關聯距離ρ，並證明它與哈代—李特爾伍德常數C的關係。
這一步的關鍵是選擇權重ω(p)使得Σ ω(p) = —log C。
這保證了孿生素數對在ρ下取相同的值。
第三步是將素數點集P視為X中的拉格朗日子流形，即零維子流形。
定義P上的“孿生關聯結構”為所有滿足ρ(p, p+2)=常數的點對構成的圖。
第四步將引入顧—辛框架中的旋轉守恆量。
這個守恆量是定義在P上的一個拓撲不變數，它可以透過某種配分函式計算。
關鍵在於證明，如果只有有限個孿生素數對，那麼守恆量必須為零。
但如果從素數分佈的全域性性質推出守恆量恆不為零，那麼孿生素數對必須有無窮多。
第五步就是計算守恆量了。
這一步需要用到素數定理和解析數論中的標準結果。
透過計算，可以得到守恆量正比於∏_{p} (1 1/(p—1)^2)的某種變形，而這個乘積正是孿生素數常數C！
由於C＞0（約1.32），所以守恆量＞0。
最後，由守恆量＞0，結合第四步的結論，推出孿生素數對有無窮多。
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