但只是這樣還不夠。
篩法只能告訴我們“存在”還是“不存在”，很難給出精確的計數。
要得到g(n)的精確表示式，還需要另一種工具。
肖宿想到了傅立葉分析。
圓法的本質，是用傅立葉分析的工具把g(n)這個計數函式展開成一個積分。
這個積分沿著單位圓進行，所以叫圓法。
哈代和李特爾伍德在1920年代發明這個方法的時候，本意是想證明哥德巴赫猜想本身。
但是他們最後只得到了一個在N趨於無窮大時成立的近似表示式。
這是一個漸近公式，而不是對所有N都成立的嚴格等式。
問題就出在積分的餘項上。
圓法積分的主項很容易算出來，就是那個著名的哈代-李特爾伍德漸近公式，形式優美得像一首詩。
但餘項的控制極其困難，因為被積函式在單位圓上振盪得太厲害了。
就像一條在暴風雨中瘋狂擺動的小船，你想精確測量它的平均位置，但每一次浪打過來，你的測量誤差就會翻倍。
他盯著圓法的積分表示式看了很久，忽然意識到一個問題：
這個積分之所以難算，是因為它在整個實數軸上積分，那如果換一個積分路徑呢？
在複變函式裡，是可以透過選擇不同的積分路徑來避開那些振盪劇烈的區域的。
而這種方法就是著名的“最速下降法”，也叫鞍點法。
最速下降法的發明者是十九世紀的法國數學家柯西，核心思想極其巧妙：
當你在複平面上計算一個振盪得很厲害的積分時，你可以不沿著原來的路徑積分，而是把積分路徑“彎曲”一下，讓它經過那些使被積函式變化最平緩的點，也就是所謂的“鞍點”。
沿著這條新路徑，積分會變得溫順得多，因為那些劇烈的振盪被繞過去了。
這個想法在物理裡用得非常普遍，量子力學裡的半經典近似、統計物理裡的 steepest descent 展開，本質上都是這個東西。
但在數論裡，很少有人認真地把圓法積分往復平面上延拓。
不是沒人想過，而是大多數人都覺得，把積分路徑從單位圓延拓到複平面之後，被積函式的行為會變得更加難以控制。
單位圓好歹是一個緊緻的、封閉的曲線，複平面可是無邊無際的。
但肖宿覺得，正是因為複平面更大，你才有更多的操作空間。
在單位圓上，你只能沿著那一條路走，前面是振盪區你也得硬著頭皮穿過去。
但在複平面上，你可以繞路。
他開始嘗試。
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